https://i1.glitter-graphics.org/pub/1...lnbyh51sg0.gif
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

يعرف العدد المثلثي (أو الثلاثي) https://www.mathramz.com/math/files/t...094206932b.pngtriangular number على أنه مجموع أول n عددا من الأعداد الصحيحة الموجبة, أي أن

https://www.mathramz.com/math/files/t...7e2f6804e2.png

متتابعة هذه الأعداد هي (https://www.research.att.com/~njas/sequences/A000217):
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ....

1) مجموع عددين مثلثين متتابعين عدد مربع. تحديدا https://www.mathramz.com/math/files/t...31328e00ff.png وذلك لأن
https://www.mathramz.com/math/files/t...86284e090d.png

هذا أيضا واضح من خلال الرسم التالي الممثل ل https://www.mathramz.com/math/files/t...48fdd9ce7f.png.

https://www.mathramz.com/math/files/i..._numbers10.png

2) مجموع أول n عددا مثلثيا يساوي https://www.mathramz.com/math/files/t...720516ad1f.png.
3) الدالة المولدة لمتتابعة الأعداد المثلثية هي https://www.mathramz.com/math/files/t...640fd61e1b.png

4) كل عدد صحيح موجب يمكن كتابته كحاصل جمع ثلاثة أعداد مثلثية أو أقل.

https://www.mathramz.com/math/files/t...ca5c1bd1d2.png

لاختبار ما إذا كان العدد الصحيح الموجب m عدد مثلثي نحسب المقدار
https://www.mathramz.com/math/files/t...0138712dd2.png

فإذا كان x عدد صحيح فإن https://www.mathramz.com/math/files/t...dd3fb7c4a0.png. هذه العلاقة ناتج مباشر من https://www.mathramz.com/math/files/t...74cedce21d.png حيث https://www.mathramz.com/math/files/t...fe0b3dbf41.png.

كان الرياضي سيربنسكي Sierpinski قد طرح سؤالا فيما إذا كان هناك أربعة أعداد مثلثية في تتابع هندسي أم لا. الرياضي بينيت Bennett قدم حدسه بالنفي على هذا التساؤل. في العام 2007 ميلادي أثبتت صحة هذا الحدس. أي أنه لا يوجد أربعة أعداد مثلثية تمثل متتابعة هندسية. بالمناسبة يوجد ثلاثة أعداد مثلثية في تتابع هندسي وهي https://www.mathramz.com/math/files/t...eae33d6e50.png.