السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

يعرف العدد المثلثي (أو الثلاثي) triangular number على أنه مجموع أول n عددا من الأعداد الصحيحة الموجبة, أي أن



متتابعة هذه الأعداد هي (https://www.research.att.com/~njas/sequences/A000217):
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ....

1) مجموع عددين مثلثين متتابعين عدد مربع. تحديدا وذلك لأن


هذا أيضا واضح من خلال الرسم التالي الممثل ل .



2) مجموع أول n عددا مثلثيا يساوي .
3) الدالة المولدة لمتتابعة الأعداد المثلثية هي

4) كل عدد صحيح موجب يمكن كتابته كحاصل جمع ثلاثة أعداد مثلثية أو أقل.

لاختبار ما إذا كان العدد الصحيح الموجب m عدد مثلثي نحسب المقدار


فإذا كان x عدد صحيح فإن . هذه العلاقة ناتج مباشر من حيث .

كان الرياضي سيربنسكي Sierpinski قد طرح سؤالا فيما إذا كان هناك أربعة أعداد مثلثية في تتابع هندسي أم لا. الرياضي بينيت Bennett قدم حدسه بالنفي على هذا التساؤل. في العام 2007 ميلادي أثبتت صحة هذا الحدس. أي أنه لا يوجد أربعة أعداد مثلثية تمثل متتابعة هندسية. بالمناسبة يوجد ثلاثة أعداد مثلثية في تتابع هندسي وهي .